esporte da aorte

A palavra “odds” em inglês poderia ser traduzida como “chances”. Poucos sites por aqui utilizam esta nomenclatura em português porque fica estranho que as chances de um time vencer (ou de qualquer coisa acontecer) venham expressas em moeda (no caso, em reais) e não em porcentagens. Mas, na verdade, esses conceitos estão intimamente ligados, como demonstrarei adiante.
Se, de alguma maneira, eu calculo que a probabilidade de um evento acontecer (como a vitória do meu time de coração) seja p, qual seria o prêmio (ou seja, “a odd”) que deveria ser oferecido(a)? Ou, sob outra perspectiva: dado que a vitória do Flamengo está pagando R$ 1,86 para cada real apostado, qual a probabilidade implícita que a casa de apostas está dando para o Flamengo vencer o clássico?
Bom, para responder a esta pergunta, precisamos começar em um contexto de jogo justo sob o ponto de vista técnico (e não sob o ponto de vista do dicionário, ou seja, “de justiça”). Um jogo é tecnicamente dito justo quando a sua expectativa de ganho é zero, ou seja, quando temos chances de ganhar e de perder com probabilidades equilibradas, isto é: se jogarmos repetidamente, a Lei dos Grandes Números tenderá a igualar nossos ganhos às nossas perdas de modo que, em média, tenderemos a nada ganhar ou perder. Claro que uma casa de apostas precisa ter receitas e cobra por cada aposta realizada, mas para desenvolver a teoria, preciso começar imaginando que o jogo seja de expectativa zero (tal como em um jogo de pôquer entre amigos).
Por exemplo, ao lançar uma moeda honesta, quais seriam as odds justas para os dois resultados possíveis? Ora, cara pagaria R$ 2,00 por real apostado e coroa também (é como se você apostasse R$ 1,00 no resultado cara e seu oponente, R$ 1,00 na coroa: quem vencer, leva os R$ 2,00). Note que, em qualquer caso, a sua expectativa seria nula porque você teria 50% de lucrar um real e 50% de perder um real. Vamos então agora passar para o problema genérico, a saber: